Лінійні диференціальні рівняння

123456

Означення: Лінійними диференціальними рівняннями називаються такі рівняння, які містять невідому функцію і її похідну тільки в першій степені.

Такі рівняння мають вигляд:

або

Якщо то рівняння називається лінійним рівнянням без правої частини.

Для розв’язування лінійних рівнянь користуються підстановкою де і -- деякі функції від : тобто, розкладається на два множника.

Маємо на увазі, що ця операція не повністю визначена. Наприклад, якщо то цю функцію можна розкласти на множники багатьма способами:

і т.д.

Через це, покладаючи один із множників можна вибрати довільно.

Розглянемо розв’язування лінійних рівнянь на прикладах.

Приклад 12.Розв’язати рівняння

Розв'язування

Тут -- рівняння лінійне; отже

тоді

замінюючи і їх значеннями, отримаємо:

Виносячи в другому і третьому доданках з а дужки, рівняння перепишемо так:

Виберемо так, щоб вираз в дужках перетворився на нуль. Це справедливо, так як співмножник в рівності беремо довільно.

Нехай

розділяємо змінні, маємо:

довільну змінну С можна не писати (в даному випадку беремо змінну, рівну 0).

Тепер рівняння набуде вигляду

,

,

.

(Тут С писати обов’язково, інакше вийде не загальний розв'язок , а частинний ). Тепер знайдемо шукану функцію, пам’ятаючи, що

або

Відповідь:

Примітка.Підстановка не завжди приводить до простого способу рішення.

Рівняння дане в прикладі 1, можна розв’язати по іншому.

Перемножимо всі члени рівняння на тоді отримаємо:

Ліва частина рівняння є похідна добутку:

або

звідси

(відповідь така ж).

Приклад 13.Розв’язати рівняння

Розв'язування

Нехай

диференціюємо:

Тепер наше рівняння прийме вигляд:

або

Покладемо

Розділяючи змінні, отримаємо:

Інтегруємо:

(довільну сталу С не пишемо)

Тепер рівняння

набуде вигляду:

відокремимо змінні

проінтегруємо:

Скористаємось способом підстановки, знайдемо інтеграл :

;

Підставимо знайдене значення і в рівність :

спрощуючи, отримаємо

Відповідь:

Приклад 14.Розв’язати рівняння

Розв'язування

Розділимо всі члени рівняння на тоді отримаємо

Нехай

Підставимо значення y і в рівняння :

або (А)

Нехай



або

Розділяючи змінні, будемо мати .

Інтегруємо:

(Скористаємось способом підстановки, знайдемо інтеграл :

;)

довільну сталу С не пишемо,

звідси

Тепер рівняння прийме вигляд:

або

Інтегруючи, маємо

Підставляючи значення в рівність

отримаємо:

або

Відповідь:

Приклад 15.Розв’язати рівняння

Розв'язування

Це рівняння без правої частини, бо

Запишемо


.

Відокремимо змінні


,

.

Інтегруємо:

Знайдемо невизначений інтеграл методом заміни змінних:

.

або

( --довільна стала замість С).

Потенціюючи,одержимо:

Відповідь:

Вправи III

Знайти загальний розв'язок рівнянь:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Знайти частинні розв'язки рівнянь:

14. , якщо у = 0 при х = 1,

15. , якщо у = 1 при х = 0,

16. , якщо у = 0 при х = 1,

17. , якщо у = 0 при х = 0,

18. , якщо у = 3 при х = 2.

Використана література:

1. Вища математика. Ч 1.

За загальною редакцією П.П.Овчинникова. Київ 2003р.

2. М.В. Грисенко Математика для економістів. Навчальний посібник. Київ 2007р.

3. Н.В. Богомолов Практические занятия по математике. Москва1990г.

4. В.Т. Лисичкин Математика .Москва 1991г.

5. В.М. Лейфура Математика. Київ 2003р.

6. И.И. Валуце, Г. Д. Дилигул Математика для техникумов. Москва 1989 г.

7. Вища математика: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни (К.Г. Валєєв, І.О.Джалладова, О.І. Лютий та інш. – К.: КНЕУ, 1999.

8. И.Л. Зайцев Элементы высшей математики.



5290833435104319.html
5290877751544593.html
    PR.RU™